[2014년 운정고]

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[1학년 2학기 기말]

함수 [eqn: y=- sqrt {2x-1} +1]에 대한 설명으로 옳은 것은? [3.4점]

④

① 정의역은 [eqn: LEFT { `x` left|`x LEQ {1} over {2} RIGHT }]이다.

② 치역은 [eqn: LEFT { `y`|`y GEQ 1 RIGHT }]이다.

③ 그래프는 제[eqn: 2]사분면을 지난다.

④ 역함수는 [eqn: y= {1} over {2} (x-1) ^{2} + {1} over {2} (x le1)]이다.

⑤ [eqn: y=- sqrt {2x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼,

[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1-x}]에 대하여
[eqn: f _{1} (x)=f(x)],
[eqn: f _{n+1} (x)=f(f _{n} (x))(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]
로 정의할 때, [eqn: f _{50} (2)]를 구하면? [3.9점]

③

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(x)= {cases{sqrt {3-x} +a&```(x LEQ 3)#{2x+6} over {x-1}&```(x>3)}}]
일 때, 함수 [eqn: f]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(2)f(k)=70]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3.9점]

(가) 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { `y`|`y >2 right]

(나) 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x_1 !=x_2]이면

[eqn: f(x_1 )!=f(x_2 )]이다.

②

① [eqn: 13]	② [eqn: -13]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: -11]	⑤ [eqn: 9]

등비수열 [eqn: 1over2], [eqn: 1over4], [eqn: 1over8], [eqn: cdots]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: {499} over {500}]보다 커지는 [eqn: n]의 최솟값은? [3.4점]

④

① 제[eqn: 6]항	② 제[eqn: 7]항	③ 제[eqn: 8]항

④ 제[eqn: 9]항	⑤ 제[eqn: 10]항

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

이 때, [eqn: a _{9} +a _{10}]의 값은? [3.6점]

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 81]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인

등비수열이다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{2n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: -9]이고 공차가 [eqn: 3]인

등차수열이다.

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +3n+2]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +cdots+a _{13}]의 값은? [3.6점]

②

① [eqn: 112]	② [eqn: 114]	③ [eqn: 116]

④ [eqn: 118]	⑤ [eqn: 120]

[eqn: sum _{i=1} ^{5} LEFT { sum _{j=1} ^{3} (i+2 ^{j} -1) RIGHT }]은? [3.4점]

⑤

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: sum _{p=1} ^{q} a _{p} = {q(q+1)(q+2)} over {3}]. [eqn: sum _{r=1} ^{n} b _{r} =10n]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} -2b _{k} +3)]의 값은? [3.6점]

①

① [eqn: 270]	② [eqn: 275]	③ [eqn: 280]

④ [eqn: 285]	⑤ [eqn: 290]

다음과 같은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.
[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 18], [eqn: 24], [eqn: 7], [eqn: 14], [eqn: cdots]
이 때, [eqn: a _{90}]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: 180]	② [eqn: 182]	③ [eqn: 184]

④ [eqn: 186]	⑤ [eqn: 188]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때,
[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2],
[eqn: a_n+1 -2a_n =S_n+2 -3S_n+1 +2S_n ```(n=1,```2,```3,```cdots)]
이 성립한다. 이 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ 10

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

수직선 위에 두 점 [eqn: rmA_1 (0)], [eqn: rmA_2 (4)]가 있다. 점 [eqn: rmA _3]는 [eqn: rm bar{A _{1} A _{2}}]의
[eqn: 3:1] 외분점이고, [eqn: rmA _{4}]는 [eqn: rm bar{A _{2} A _{3}}]의 [eqn: 3:1] 외분점이다. 이 과정을 반복할 때, [eqn: rmA _{6}]의 좌표는? [4.1점]

③

① [eqn: 7]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: {31} over {4}]

④ [eqn: {63} over {8}]	⑤ [eqn: {127} over {16}]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 이차방정식
[eqn: a _{n+2} x ^{2} -2a _{n+1} x+a _{n} =0]
이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 중근을 갖는다고 할 때, [eqn: n=10]일 때의 근은? [3.9점]

①

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[eqn: n]은 자연수이고 [eqn: a]는 실수일 때, 항상 옳은 것은? [3.4점]

⑤

① [eqn: 0]의 [eqn: n]제곱근은 없다.

② [eqn: x ^{n} =a]의 실근은 [eqn: ± root {n} of {a}]이다.

③ [eqn: a]가 음수일 때, [eqn: a]의 네제곱근은 없다.

④ [eqn: n]이 짝수이고, [eqn: a]가 양수일 때, [eqn: n]제곱근 [eqn: a]는 [eqn: n]개다.

⑤ [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: x ^{n} =a]의 실근은 [eqn: a]값에 상관없이 항상

존재한다.

소금물 [eqn: 8rmL]의 농도를 낮추기 위해 [eqn: rm6L]를 버리고 [eqn: rm6L]의 물을 섞는 시행을 [eqn: 12]번 반복하여 [eqn: p%]의 소금물 [eqn: 8rmL]를 만들었다. 시행 횟수를 줄이기 위해 [eqn: 7rmL]를 버리고 [eqn: 7rmL]의 물을 섞는 일을 반복하여 [eqn: p%]의 소금물 [eqn: 8rmL]를 만들려면 반복해야할 시행의 횟수는? [4.1점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{□a-2□} (ax ^{2} -2ax+8)]이 정의되기 위한 정수 [eqn: a]의 개수는? [3.6점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: log _{2} 3=a], [eqn: log _{5} 3=b]일 때, [eqn: log _{18} 150]을 [eqn: a], [eqn: b]를 사용하여 나타내면? [3.9점]

⑤

① [eqn: {1+a+2ab} over {1+2a}]	② [eqn: {2a+b+ab} over {1+2a}]	③ [eqn: {a+b+2ab} over {b+2ab}]

④ [eqn: {a+2b+ab} over {b+2ab}]	⑤ [eqn: {2a+b+ab} over {b+2ab}]

서술형

다음을 읽고 문제를 해결하시오. [10.0점]

[eqn: 1 le k le { 5} over { 4}]

(1) 무리함수 [eqn: y= sqrt {-x+1}]의 그래프를 좌표평면에 그리시오.

(2) 무리함수 [eqn: y= sqrt {-x+1}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가

서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의

범위를 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

곡선 [eqn: y=2x ^{3} -kx ^{2} +11x+15]와 직선 [eqn: y=5x-1]가 서로 다른 세 점에서 만나고 교점의 [eqn: x]좌표가 등비수열을 이룰 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하고 [eqn: k]의 값을 구하시오. [10.0점]

[eqn: -3]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식
[eqn: 1 cdot 1+2 cdot 2+3 cdot 2 ^{2} + CDOTS +n cdot 2 ^{n-1} =(n-1) cdot 2 ^{n} +1]
이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오. [10.0점]

1) [eqn: 1 cdot1 =(1-1)cdot2^n +1]이 성립한다.

2) [eqn: 1 CDOT 1+2 CDOT 2+ CDOTS +k CDOT 2 ^{k-1} =(k-1) CDOT 2 ^{k} +1]가 성립한다고

가정하자. 양변에 [eqn: (k+1)cdot2 ^{k}]를 더하면

우변은 [eqn: (k-1) CDOT 2 ^{k} +1 +(k+1)cdot2^k +1 =k cdot2^k+1 +1]이

되어 [eqn: 1 CDOT 1+2 CDOT 2+ CDOTS +(k+1) CDOT 2 ^{k} =k CDOT 2 ^{k+1} +1]이

성립한다.

[eqn: 12 ^{n}]은 [eqn: 10]자리 자연수이다. 그 때의 자연수를 [eqn: n]이라 하고, 최고자리 숫자를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: n+b]의 값을 구하시오. (단,
[eqn: log2=0.30], [eqn: log3=0.48]) [10.0점]

[eqn: 14]

[2014년 운정고]

[1학년 2학기 기말]

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